- Perché è meglio avere più titoli in portafoglio, anziché 1 solo?
- Come si calcolano rendimento e rischio di un portafoglio di titoli?
- Che cos’è e come si costruisce una frontiera efficiente, per un portafoglio con un certo numero di titoli?
- Come si può fare tutto questo con excel?
In questo post voglio provare a rispondere a queste domande.
Perché più titoli in portafoglio sono meglio di 1.
E’ logico che io preferisco possedere il titolo A, perché mi dà lo stesso rendimento del titolo B, ma con un rischio più basso. Ma allora perché c’è gente disposta a tenere il titolo B?
La risposta sta nel fatto che, se io faccio un mix dei titoli A e B nel mio portafoglio, ottengo lo stesso rendimento, ma con un rischio più basso di A e di B presi singolarmente.
Quindi, per ragioni matematiche che tenterò di descrivere, la teoria di portafoglio ha l’obiettivo di determinare qual è il “giusto” mix di un certo numero di titoli, per comporre un portafoglio che abbia
- il livello di rischio che sono disposto a correre,
- il miglior rendimento che potrei ottenere a quel livello di rischio.
Quindi, posso rispondere ad alcune domande.
- Se ho n titoli, come divido il mio capitale da investire in ciascun titolo, per avere il rischio più basso possibile? E’ il punto verde sulla linea verde della figura sotto.
- Ho sempre gli stessi n titoli e vorrei ottenere un certo rendimento, ad esempio 5%. Qual è il modo migliore di ripartire il mio capitale fra ciascun titolo, per ottenere quel rendimento desiderato? Tutti i portafogli che stanno sulla linea orizzontale azzurra mi rendono il 5%. Ma il portafoglio all’incrocio tra la linea orizzontale azzurra e la curva verde ha il rischio più basso tra tutti i portafogli con rendimento 5%. Quindi, questo è il modo migliore di comporre il mio portafoglio per avere il 5%.
Inoltre, posso anche fissare prima il rischio che sono disposto a correre sull’asse orizzontale. Parto da sotto nel grafico e poi salgo lungo la linea verticale azzurra per determinare la composizione migliore del mio portafoglio, cioè quella con il rendimento più alto al rischio che ho deciso di correre. Tutti i portafogli che si trovano sulla linea verticale azzurra hanno il rischio che ho deciso di correre. Ma ognuno di questi ha un diverso rendimento, chi più basso e chi più alto fino ad un massimo del 5%. Quindi, il punto azzurro all’incrocio tra la linea verticale azzurra e la curva verde è il miglior modo di comporre il mio portafoglio al rischio che ho deciso di correre, ottenendo il rendimento più alto possibile, 5% in questo caso.
Grossomodo questo è quello che la teoria di portafoglio mi permette di fare.
Adesso provo ad entrare più nei dettagli. In particolare, tenterò di descrivere:
- perché il prezzo di un titolo è un numero aleatorio
- come calcolo il rendimento e il rischio dei singoli titoli
- il calcolo del rendimento di un portafoglio di titoli
- il calcolo del rischio di un portafoglio di titoli
- come arrivo al grafico rendimento/rischio di un portafoglio con 2 titoli
- il calcolo della frontiera efficiente di un portafoglio con più di 2 titoli
Perché il prezzo di un titolo è un numero aleatorio.
Quando compro un titolo pago una certa somma, ad esempio 15 Euro per comprare un’azione. Quindi il prezzo che pago per acquistare un titolo è un numero certo.
Una volta che l’ho comprato, io non so quale sarà il prezzo di quel titolo tra 1 ora, tra 1 giorno o tra 1 anno. Ad esempio, tra 1 giorno potrebbe essere 10 Euro, 20 Euro, 30 Euro, ancora 15 Euro o un qualsiasi altro numero. Il minimo valore che potrà raggiungere è 0 Euro. Quindi, il prezzo di un titolo ad un certo istante di tempo t è un numero aleatorio, perché non so in anticipo quanto sarà.
Allora indico con $x_0$ il prezzo (certo) a cui acquisto un titolo X e con $X$ il prezzo di quel titolo ad un certo tempo t. $X$ è un numero aleatorio, perché non so il valore che avrà al tempo t tra tutti i possibili valori $\geq 0$ che potrebbe assumere.
Quindi, è certo che pago $x_0$ per acquistare il titolo X. Ma sono in una situazione di incertezza per $X$, cioè ho incertezza su quale sarà il prezzo del titolo X al tempo t.
$x_0$ non è un numero aleatorio, ma un semplice numero (scalare). $X$ è un numero aleatorio.
Per qualche ulteriore notizia sui numeri aleatori vedere questo link.
Come calcolo il rendimento e il rischio dei singoli titoli.
Compro il titolo X pagandolo $x_0$ Euro e dopo un mese il titolo ha un prezzo $X$ Euro. Allora, dico che il rendimento del titolo X è $R_{x} = \frac{X}{x_{0}}-1$. Ad esempio, ho pagato il titolo $x_{0} = 15$ e dopo un mese il suo prezzo è $X = 18$. Quindi il rendimento in 1 mese è stato $R_{x} = \frac{X}{x_{0}}-1= \frac{18}{15}-1=0,2$ Il titolo X ha reso il 20% in 1 mese.
Anche il rendimento $R_{x}$ di un titolo è un numero aleatorio. Infatti, $R_{x}$ dipende da $X$, che è un numero aleatorio.
Quindi, io posso fissare un periodo di tempo, ad esempio 1 mese, 1 anno, e calcolarmi il rendimento del titolo in quel periodo. Prendo il suo prezzo $X$ (numero aleatorio) alla fine del periodo, lo divido per il prezzo $x_0$ all’inizio del periodo (è quanto l’ho pagato) e sottraggo 1.
Media dei rendimenti di un titolo
Essendo un numero aleatorio, posso calcolare la media (o previsione, o valore atteso) del rendimento del titolo. Ad esempio, posso calcolarmi la media dei rendimenti mensili di un titolo. Immagino di aver comprato un titolo X il 1° gennaio 2013. Vado a vedere qual era il prezzo del titolo il 1° febbraio 2013 e immagino di venderlo a quel prezzo in quel giorno. Posso calcolarmi il rendimento: $x_0$ è il prezzo che avevo pagato il 1° gennaio 2013 e $X$ è il prezzo a cui lo vendo il 1° febbraio 2013.
Poi immagino di ricomprarlo il 1° febbraio 2013 e di tenerlo fino al 1° marzo 2013, giorno in cui lo vendo. E proseguo con questo ragionamento per il numero di mesi che voglio, ad esempio 12. Ottengo una tabella come questa, in cui ho preso i prezzi di chiusura dell’azione AMAZON nel primo giorno di ogni mese dal 1° gennaio 2013 al 1° gennaio 2014.
Nella colonna C ho i prezzi di chiusura e nella colonna D ho calcolato il rendimento mensile. Infatti ho scelto il mese come periodo su cui calcolare i rendimenti di questo titolo. Nel riquadro rosso sono esposte le formule in excel che calcolano i rendimenti di ciascun periodo secondo la formula $R_{x} = \frac{X}{x_{0}}-1$ vista sopra. Infine, ho calcolato la media dei rendimenti mensili sui 12 periodi (mesi) considerati.
Per ulteriori notizie sulla media (o previsione o valore atteso) di un numero aleatorio vedere questo link.
Varianza dei rendimenti di un titolo
Il rischio di un titolo è calcolato come deviazione standard dei rendimenti del titolo. Ho calcolato la media dei rendimenti mensili del titolo AMAZON su 12 periodi e ho visto che è 2,81%. Ma dalla tabella sopra vedo anche che ci sono periodi con rendimenti positivi e periodi con rendimenti negativi (evidenziati in rosso). La deviazione standard mi misura di quanto si allontanano i rendimenti dei singoli periodi dalla media. Si possono allontanare in positivo, cioè sono più alti della media. Ma si possono anche allontanare in negativo, cioè sono più bassi della media.
Quindi, è vero che AMAZON ha reso in media il 2,81% al mese nei 12 mesi del 2013 considerati. Ma non è che ogni mese ho guadagnato il 2,81%. Ci sono stati mesi in cui ho guadagnato anche più del 2,81% e ci sono stati mesi in cui ho perso anche fino al 10,06%, come si vede nella tabella. Quindi, la deviazione standard mi misura questo andare sulle montagne russe attorno al rendimento medio. Questo è il rischio di un titolo.
La deviazione standard si indica con $\sigma$ e si calcola dalla varianza dei rendimenti del titolo: $\sigma = \sqrt{var(R_{x})}$
La varianza è data da: $var(R_{x}) = \mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})]^{2}\end{Bmatrix}$
Prendo il rendimento di ogni periodo, gli sottraggo il rendimento medio, elevo il risultato al quadrato e ne faccio la media. Il simbolo $\mathbb{P}$ indica la previsione o media o valore atteso di un numero aleatorio. Quindi anche la varianza è un numero aleatorio.
Nella tabella dei rendimenti ho aggiunto la colonna E, in cui calcolo il quadrato degli scarti dei rendimenti dalla media $[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})]^{2}$ per ogni periodo. La varianza è data dalla somma di tutti quei termini divisa per $N – 1$, cioè il numero dei periodi meno 1. Per la varianza c’è una funzione in excel che la calcola direttamente, senza dover utilizzare la colonna E. Ovviamente ottengo lo stesso risultato con ciascuno dei due approcci. Per la deviazione standard estraggo la radice quadrata della varianza calcolata con i 2 diversi procedimenti, ma posso anche usare la formula di excel =DEV.ST.C(D3:D14).
Come calcolo il rendimento di un portafoglio di titoli.
Adesso considero un portafoglio di due titoli X e Y. Meglio partire dal caso più semplice di portafoglio. Poi posso estendere questi risultati al caso di un portafoglio di $N$ titoli.
Ho un capitale $C$ e voglio investirlo sui titoli X e Y. Compro $n_x$ azioni del titolo X al prezzo $x_0$ e $n_y$ azioni del titolo Y al prezzo $y_0$. Quindi, investo una frazione $w_x$ del mio capitale $C$ su X e una frazione $w_y$ del mio capitale $C$ su Y. La somma delle frazioni di capitale $C$ investite sui due titoli deve essere 1: $w_x + w_y = 1$.
Quindi ho che la frazione di capitale investita su X è $w_x C = n_x x_0 \Rightarrow n_x = \frac{w_{x} C}{x_{0}}$. Mentre la frazione di capitale investita su Y è $w_y C = n_y y_0 \Rightarrow n_y = \frac{w_{y} C}{y_{0}}$.
In sostanza, all’inizio del periodo il mio portafoglio vale $P_0 = C$, cioè ho investito tutto il mio capitale $C$ nel portafoglio costituito dai due titoli X e Y.
Il valore del portafoglio ad un certo tempo t è il numero aleatorio $P = n_x X + n_y Y$. $P$ è un numero aleatorio perché dipende dai due numeri aleatori $X$ e $Y$, che sono i prezzi dei titoli X e Y al tempo t, sui quali ho incertezza: non so quale sarà il loro prezzo al tempo t. Invece, $n_x$ e $n_y$ sono numeri semplici, perché sono certo di quante azioni ho comprato del titolo X e del titolo Y.
Rendimento del portafoglio
Allora anche per il mio portafoglio dico che il rendimento è $R = \frac{P}{P_{0}}-1$.
Quanto vale $P$? Da quanto appena visto $P = n_{x}X + n_{y}Y = \frac{w_{x}C}{x_{0}}X + \frac{w_{y}C}{y_{0}}Y = (\frac{w_{x}}{x_{0}}X + \frac{w_{y}}{y_{0}}Y)C$
Quindi $R = \frac{P}{P_{0}}-1 = \frac{w_{x}}{x_{0}}X + \frac{w_{y}}{y_{0}}Y -1$. Siccome $w_x + w_y = 1$, posso scrivere: $R = \frac{w_{x}}{x_{0}}X + \frac{w_{y}}{y_{0}}Y – (w_{x} + w_{y})$ da cui ricavo: $R = (\frac{w_{x}}{x_{0}}X – w_{x}) + (\frac{w_{y}}{y_{0}}Y – w_{y}) = w_{x}(\frac{X}{x_{0}} – 1) + w_{y}(\frac{Y}{y_{0}} – 1)$
Siccome $\frac{X}{x_{0}} – 1 = R_{x}$ e $\frac{Y}{y_{0}} – 1 = R_{y}$, ottengo $R = w_{x}R_{x} + w_{y}R_{y}$
Quindi, il numero aleatorio $R$ rendimento del portafoglio in un periodo è la media pesata dei rendimenti dei titoli. I pesi da attribuire al rendimento di ciascun titolo sono le frazioni di capitale $w_x$ e $w_y$ rispettivamente investite su ciascun titolo.
Media dei rendimenti di un portafoglio
Essendo $R$ un numero aleatorio, posso calcolarne la media su un numero $N$ di periodi.
$\mathbb{P}(R)=\mathbb{P}(w_{x}R_{x}+w_{y}R_{y})=w_{x}\mathbb{P}(R_{x})+w_{y}\mathbb{P}(R_{y})$
Anche la media dei rendimenti di un portafoglio è la media pesata dei rendimenti medi di ciascun titolo. I pesi da attribuire ai rendimenti medi di ciascun titolo sono sempre le frazioni di capitale $w_x$ e $w_y$ rispettivamente investite su ciascun titolo. Infatti, $w_x$ e $w_y$ sono numeri semplici, non sono numeri aleatori, perché so con certezza le frazioni di capitale inizialmente investite su ciascun titolo.
Ad esempio, mi costruisco un portafoglio con i due titoli AMAZON (AMZN) e Johnson&Johnson (JNJ), investendo il 40% del mio capitale $C$ su AMZN e il 60% su JNJ. Quindi $w_x = 0,40$ e $w_y = 0,60$. Come visto prima per un solo titolo, mi calcolo i rendimenti mensili di ciascun titolo e poi le rispettive medie sui 12 periodi (mesi) considerati. Quindi, calcolo anche il rendimento medio di questo portafoglio, che risulta del 2,25%, cioè tra l’1,87% di JNJ e il 2,81% di AMZN.
Come calcolo il rischio di un portafoglio di titoli.
Come per un singolo titolo, il rischio di un portafoglio è dato dalla deviazione standard dei suoi rendimenti mensili. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza dei rendimenti.
Calcolare la varianza dei rendimenti di un portafoglio non è così immediato come calcolare la media dei rendimenti, che è la media pesata dei rendimenti medi di ciascun titolo.
La varianza dei rendimenti $R$ del portafoglio è $var(R)=\mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R-\mathbb{P}(R)]^{2}\end{Bmatrix}$. Quindi, devo calcolare la previsione dei quadrati degli scarti dei rendimenti dalla media. Da quanto visto prima, io so che $R = w_{x} R_{x} + w_{y} R_{y}$ e che $\mathbb{P}(R)=w_{x}\mathbb{P}(R_{x})+w_{y}\mathbb{P}(R_{y})$
Quindi, sostituisco $R$ e $\mathbb{P}(R)$ nell’espressione della varianza ed eseguo i calcoli.
$var(R) = \mathbb{P}\begin{Bmatrix} [w_{x}R_{x}+w_{y}R_{y}-w_{x}\mathbb{P}(R_{x})-w_{y}\mathbb{P}(R_{y})]^{2} \end{Bmatrix} =$
$=\mathbb{P}\begin{Bmatrix} w_{x}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})]+w_{y}[R_{y}-\mathbb{P}(R_{y})] \end{Bmatrix}^{2}=$
$=\mathbb{P}\begin{Bmatrix}w_{x}^{2}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})]^{2}\end{Bmatrix}+\mathbb{P}\begin{Bmatrix}w_{y}^{2}[R_{y}-\mathbb{P}(R_{y})]^{2}\end{Bmatrix}+\mathbb{P}\begin{Bmatrix}2w_{x}w_{y}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})][R_{y}-\mathbb{P}(R_{y})]\end{Bmatrix} =$
$=w_{x}^{2}\mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})]^{2}\end{Bmatrix}+w_{y}^{2}\mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R_{y}-\mathbb{P}(R_{y})]^{2}\end{Bmatrix}+2w_{x}w_{y}{\color{Red} \mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})][R_{y}-\mathbb{P}(R_{y})]\end{Bmatrix}}$
La parte in rosso è la covarianza dei rendimenti $R_x$ e $R_y$ dei titoli X e Y. Mentre $\mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R_{x}-\mathbb{P}(R_{x})]^{2}\end{Bmatrix} = var(R_x)$ e $\mathbb{P}\begin{Bmatrix}[R_{y}-\mathbb{P}(R_{y})]^{2}\end{Bmatrix} = var(R_y)$
Quindi, posso scrivere la varianza del rendimento del portafoglio come: $var(R)=w_{x}^{2}var(R_{x})+w_{y}^{2}var(R_{y})+2w_{x}w_{y}{\color{Red} cov(R_{x},R_{y})}$
La $var(R)$ non è la media pesata delle varianze dei rendimenti dei titoli del portafoglio, ma c’è anche un termine di covarianza tra i rendimenti $R_x$ e $R_y$.
Per ulteriori notizie sulla covarianza vedere questo link.
Qual è il rischio del portafoglio con i 2 titoli AMZN e JNJ?
Adesso che ho la ricetta per calcolare varianza e deviazione standard del mio portafoglio, voglio vedere come questo si applica concretamente al mio portafoglio con i 2 titoli AMZN e JNJ.
Innanzitutto ho inserito una matrice di covarianza. Che cos’è? E’ una tabella in cui ogni cella contiene un numero che è la covarianza del rendimento di un titolo con il rendimento di un altro titolo.
Ad esempio, il termine nella cella L3 contiene $cov(R_{AMZN},R_{AMZN})$, cioè la covarianza dei rendimenti di AMZN con se stessi. Ma questa è anche la varianza dei rendimenti di AMNZ, perché la covarianza di un numero aleatorio con se stesso è la varianza del numero aleatorio stesso: $cov(X,X) = var(X)$. Per qualche notizia in più su varianza e covarianza vedere questo link. Nella cella L3 del foglio excel ho usato la formula =COVARIANZA.C(H4:H15;H4:H15), che mi calcola la covarianza dei rendimenti riportati da H4 ad H15 con i rendimenti riportati sempre da H4 ad H15. Infatti sto calcolando la covarianza dei rendimenti AMZN con se stessi.
La stessa cosa ho fatto nella cella M4 per calcolare la covarianza dei rendimenti JNJ con se stessi, cioè la varianza dei rendimenti JNJ. In questo caso ho usato la formula =COVARIANZA.C(I4:I15;I4:I15), perché i rendimenti di JNJ sono riportati dalla cella I4 fino alla cella I15.
Da questi due numeri, che sono rispettivamente le varianze dei rendimenti di AMZN e JNJ, posso calcolare le rispettive deviazioni standard o rischio dei due titoli. Nella cella H19 ho calcolato $\sigma_{AMZN}$ usando la formula =RADQ(L3), perché in L3 (primo termine della matrice di covarianza) ho la varianza di AMZN. Notare che ottengo sempre un rischio pari a 7,74%, come già visto prima. Nella cella I19 ho calcolato $\sigma_{JNJ}$ usando la formula =RADQ(M4), perché in M4 (ultimo termine della matrice di covarianza) ho la varianza di JNJ. Il rischio di JNJ è risultato 4,93%.
E gli altri termini della matrice di covarianza?
Gli altri due termini della matrice di covarianza sono uguali, perché questa è una matrice simmetrica. Lungo la diagonale ho le varianze dei titoli che compongono il portafoglio, cioè le covarianze dei rendimenti dei titoli con se stessi. In L4 ho la covarianza dei rendimenti AMZN con i rendimenti JNJ, $cov(R_{AMZN},R_{JNJ})$. Questa risulta pari a 0,002014, come anche in M3 ovviamente. La formula excel usata in L4 è =COVARIANZA.C(I4:I15;H4:H15), perché in I4:I15 ho tutti i rendimenti JNJ e in H4:H15 ho tutti i rendimenti AMZN. In M3 ho usato la formula =COVARIANZA.C(H4:H15;I4:I15). Come si vede il risultato non cambia, perché $cov(X,Y) = cov(Y,X)$. Cioè non importa quale numero aleatorio viene prima e quale dopo quando si calcola la loro covarianza.
Adesso posso calcolare il rischio di questo portafoglio con 2 titoli.
Applicando la formula $var(R)=w_{x}^{2}var(R_{x})+w_{y}^{2}var(R_{y})+2w_{x}w_{y}{\color{Red} cov(R_{x},R_{y})}$ posso calcolare la varianza del mio portafoglio e da questa il rischio, che è la $\sqrt{var(R)}$.
In excel ho calcolato la varianza del portafoglio nella cella M6, utilizzando la formula =(H17^2)*L3+(I17^2)*M4+2*H17*I17*L4 dove si trovano tutti i termini necessari per il calcolo. Notare che ho preso il termine della matrice di covarianza posto nella cella L4, ma avrei potuto benissimo prendere il termine posto in M3, che ha lo stesso valore 0,002014. Poi nella cella H23 ho fatto =RADQ(M6) per trovare il rischio del portafoglio.
Al di là dei calcoli, la cosa importante da notare è che il rischio del mio portafoglio è 5,29%, cioè abbastanza più basso del 7,74% di AMZN e poco più alto del 4,93% di JNJ. Quindi, vado a prendermi un rendimento del 2,25%, che è più basso di AMZN e più alto di JNJ, ma con un rischio più basso di AMZN e un po’ più alto di JNJ.
Perché il rischio del portafoglio non è più basso di entrambi i titoli presi singolarmente?
La risposta è nel grafico seguente, in cui riporto i rendimenti mensili di AMZN e JNJ.
Vedo che i rendimenti di AMZN e JNJ si muovono più o meno alla stessa maniera. A parte qualche rara eccezione, quando AMNZ guadagna anche JNJ guadagna. E quando AMZN perde anche JNJ perde. Che i rendimenti dei 2 titoli si muovono suppergiù insieme me lo dice già la covarianza tra i rendimenti, che è un numero positivo. Ancor più me lo dice il coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei 2 titoli pari a 0,53.
Infatti, posso calcolare facilmente il coefficiente di correlazione $\rho (R_{AMZN},R_{JNJ})=\frac{cov(R_{AMZN},R_{JNJ})}{\sigma_{AMZN}\cdot \sigma_{JNJ}}=\frac{0,002014}{0,0774\cdot 0,0493}=0,53$
Quindi, se il rendimento dei titoli in portafoglio è correlato, il beneficio di diversificare per ridurre il rischio c’è, ma non produce il massimo dei suoi effetti.
Se considerassi un portafoglio composto da AMZN e un ipotetico titolo XYZ completamente non correlato con AMZN, osserverei il grafico seguente.
Qui vedo che quando AMZN guadagna XYZ perde e, viceversa, quando XYZ guadagna AMZN perde. Il coefficiente di correlazione tra AMZN e questo ipotetico titolo XYZ è $\rho = -1$
Ad esempio, un portafoglio composto per il 60% da AMZN e per il 40% da XYZ mi darebbe un rendimento medio dello 0,56% con un rischio dell’1,55% contro un rischio del 7,44% per AMZN e del 7,44% per XYZ. Questo esempio fittizio mi dà un’idea di quanto grande può essere il beneficio della diversificazione nel ridurre il rischio del portafoglio. Ovviamente, nella realtà è molto difficile (se non impossibile) trovare titoli con coefficiente di correlazione pari a -1.
Grafico rendimento/rischio di un portafoglio.
Adesso voglio provare a costruire il grafico visto all’inizio, in cui riporto il rischio di un portafoglio sull’asse orizzontale e il rendimento del portafoglio sull’asse verticale.
Considero sempre un portafoglio di 2 titoli X e Y.
$m_{1} = \mathbb{P}(R_{x})$ e $m_{2} = \mathbb{P}(R_{y})$ sono le medie dei rendimenti di X e Y.
$\sigma_{1}^{2}=var(R_{x})$ e $\sigma_{2}^{2}=var(R_{y})$ sono le varianze dei rendimenti di X e Y. Quindi ho che $\sigma_{1}=\sqrt{var(R_{x})}$ e $\sigma_{2}=\sqrt{var(R_{y})}$ sono le diviazioni standard o rischi dei titoli X e Y.
Inoltre chiamo $w_{1} = w_{x}$ e $w_{2} = w_{y}$ le frazioni di capitale $C$ investite nei titoli X e Y. $w_{1} + w_{2} = 1$
Allora ho che la media dei rendimenti del portafoglio è $m = w_{1}m_{1} + w_{2}m_{2}$
La varianza dei rendimenti del portafoglio è $\sigma_{m}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2w_{1}w_{2}cov(R_{x},R_{y})$
Siccome il coefficiente di correlazione tra i rendimenti $R_{x}$ e $R_{y}$ è $\rho_{1,2}=\frac{cov(R_{x},R_{y})}{\sigma_{1} \sigma_{2}}$, posso scrivere $cov(R_{x},R_{y}) = \rho_{1,2} \sigma_{1} \sigma_{2}$
Quindi, scrivo la varianza del portafoglio come: $\sigma_{m}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2w_{1}w_{2}\rho_{1,2} \sigma_{1} \sigma_{2}$
Voglio rappresentare su un piano $m$ e $\sigma_{m}$, iniziando da alcuni casi particolari.
2 titoli perfettamente correlati
In questo caso, $\rho_{1,2}=1$. Quindi la varianza del portafoglio diventa $\sigma_{m}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2w_{1}w_{2} \sigma_{1} \sigma_{2} = (w_{1} \sigma_{1} + w_{2} \sigma_{2})^{2}$
Il rischio di questo portafoglio è $\sigma_{m} = \sqrt{\sigma_{m}^{2}} = w_{1} \sigma_{1} + w_{2} \sigma_{2}$
Se i 2 titoli sono perfettamente correlati, allora anche il rischio (non solo il rendimento) del portafoglio è la media pesata dei rischi dei singoli titoli. I pesi dei rischi sono le frazioni di capitale $C$ investite in ciascun titolo.
Per rappresentare in grafico la relazione tra $m$ e $\sigma_{m}$, devo scrivere $m$ come funzione di $\sigma_{m}$.
$m = w_{1}m_{1} + w_{2}m_{2} = w_{1}m_{1} + (1 – w_{1})m_{2}$
$\sigma_{m} = w_{1} \sigma_{1} + w_{2} \sigma_{2} = w_{1} \sigma_{1} + (1 – w_{1}) \sigma_{2}$
$\Rightarrow w_{1}=\frac{\sigma_{m} – \sigma_{2}}{\sigma_{2} – \sigma_{1}}$
Sostituendo questa espressione di $w_{1}$ nell’equazioni di $m$, ottengo: $m= (\frac{\sigma_{m} – \sigma_{2}}{\sigma_{2} – \sigma_{1}})m_{1} + (1- \frac{\sigma_{m} – \sigma_{2}}{\sigma_{2} – \sigma_{1}})m_{2}$
Svolgendo i calcoli arrivo all’equazione: $m= (\frac{m_{2} – m_{1}}{\sigma_{2} – \sigma_{1}})\sigma_{m} + \frac{m_{2}\sigma_{1} – m_{1}\sigma_{2}}{\sigma_{1} – \sigma_{2}}$
Questa è l’equazione di una retta, il cui coefficiente angolare è $\frac{m_{2} – m_{1}}{\sigma_{2} – \sigma_{1}}$ e la cui intercetta è $\frac{m_{2}\sigma_{1} – m_{1}\sigma_{2}}{\sigma_{1} – \sigma_{2}}$.
Da notare che i rendimenti medi $m_1$ e $m_2$ e i rischi $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono dei numeri. Mentre il rendimento $m$ del portafoglio e il suo rischio $\sigma_m$ sono variabili, che prendono valori diversi a seconda delle frazioni $w_1$ e $w_2$ di capitale $C$ rispettivamente investite su ciascuno dei 2 titoli.
Quando $\rho = 1$ tutti i possibili portafogli che posso ottenere variando le frazioni di capitale $C$ investite sui 2 titoli si trovano lungo la linea che congiunge i 2 titoli. I punti rosso $(\sigma_2, m_2)$ e verde $(\sigma_1, m_1)$ rappresentano rispettivamente il titolo 2 e il titolo 1 sul piano rischio ($\sigma_m$)/rendimento ($m$).
2 titoli perfettamente non correlati
Quando $\rho_{1,2} = -1$, la varianza del portafoglio diventa $\sigma_{m}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} – 2w_{1}w_{2} \sigma_{1} \sigma_{2} = (w_{1} \sigma_{1} – w_{2} \sigma_{2})^{2}$
Il rischio di questo portafoglio è $\sigma_{m} = \sqrt{\sigma_{m}^{2}} = |w_{1} \sigma_{1} – w_{2} \sigma_{2}|$
Sostituendo $w_{2} = 1 – w_{1}$, ottengo $|w_{1}\sigma_{1} – \sigma_{2} + w_{1}\sigma_{2}|=|w_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})- \sigma_{2}|$
Essendoci un modulo devo distinguere 2 casi.
Caso 1. $\rho_{1,2} = -1$ e $w_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})- \sigma_{2} \geq 0$
Se $w_{1}\geq \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$, il rischio del portafoglio è dato dato da $\sigma_{m} = w_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})- \sigma_{2}$
Da qui ricavo che $w_{1} = \frac{\sigma_{m} + \sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$ e vado a sostituire $w_{1}$ nell’equazione del rendimento $m$.
$m = (\frac{\sigma_{m} + \sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}})m_{1} + (1- \frac{\sigma_{m} + \sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}})m_{2}$
Svolgendo i calcoli arrivo all’equazione $m = (\frac{m_{1} – m_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}})\sigma_{m} + \frac{m_{1}\sigma_{2} + m_{2}\sigma_{1}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$
Questa è l’equazione di una retta con coefficiente angolare $\frac{m_{1} – m_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$, che è negativo quando $m_{1} < m_{2}$, come nella figura sotto. L’intercetta è $\frac{m_{1}\sigma_{2} + m_{2}\sigma_{1}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$, che è più vicina a $m_{1}$ quando $\sigma_{2} > \sigma_{1}$, come nella figura.
Caso 2. $\rho_{1,2} = -1$ e $w_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})- \sigma_{2} < 0$
Se $w_{1} < \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$, il rischio del portafoglio è dato dato da $\sigma_{m} = \sigma_{2} – w_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})$
$\Rightarrow w_{1} = \frac{\sigma_{2} – \sigma_{m}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$ che vado a sostituire nell’equazione del rendimento $m$.
Rifacendo gli stessi calcoli come nel caso 1, arrivo all’equazione: $m = (\frac{m_{2} – m_{1}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}})\sigma_{m} + \frac{m_{1}\sigma_{2} + m_{2}\sigma_{1}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$
Questa è l’equazione di una retta con coefficiente angolare $\frac{m_{2} – m_{1}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$, che stavolta è positivo quando $m_{1} < m_{2}$, come nella figura sotto. L’intercetta è sempre $\frac{m_{1}\sigma_{2} + m_{2}\sigma_{1}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$, più vicina a $m_{1}$ quando $\sigma_{2} > \sigma_{1}$, come nella figura.
Quindi, mentre con $\rho = 1$ tutti i possibili portafogli si dispongono lungo la linea blu, nel caso in cui $\rho = -1$ i possibili portafogli si dispongono lungo le linee gialla e grigia.
Osservazione importante
Quando $\rho = -1$, i portafogli sulla linea gialla non sono efficienti. Infatti, se fisso un livello di rischio $\sigma_{m}$ che sono disposto a correre, posso costruire 2 portafogli salendo verticalmente lungo la linea rossa tratteggiata. E’ evidente che quello verde è il portafoglio efficiente, perché, a parità di rischio, mi dà un rendimento più alto del portafoglio rosso (non efficiente).
All’interno di quel triangolo cadono tutti gli altri infiniti portafogli, che posso realizzare con 2 titoli quando $\rho \neq \pm 1$. Quindi, è all’interno di quel triangolo il luogo dove posso trovare i portafogli efficienti, che possono ridurre il rischio, preservando il rendimento.
Qual è grafico quando $\rho \neq \pm 1$?
Riprendo le due equazioni del rendimento e della varianza di un portafoglio composto da 2 titoli.
$m = w_{1}m_{1} + w_{2}m_{2}$
$\sigma_{m}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2w_{1}w_{2}\rho_{1,2} \sigma_{1} \sigma_{2}$
Per trovare l’equazione di $m$ in funzione di $\sigma_{m}$, utilizzo sempre il fatto che $w_{2} = 1 – w_{1}$.
$m = w_{1}m_{1} + (1- w_{1})m_{2} \Rightarrow w_{1} = \frac{m – m_{2}}{m_{1} – m_{2}}$
Adesso sostituisco $w_{1}$ nell’espressione della varianza e ottengo $\sigma_{m}^{2} = (\frac{m – m_{2}}{m_{1} – m_{2}})^{2} \sigma_{1}^{2} + (1 – \frac{m – m_{2}}{m_{1} – m_{2}})^{2} \sigma_{2}^{2} + 2(\frac{m – m_{2}}{m_{1} – m_{2}})(1 – \frac{m – m_{2}}{m_{1} – m_{2}}) \rho_{1,2} \sigma_{1} \sigma_{2}$
Anche qui devo fare un po’ di calcoli, tenendo sempre presente che le variabili sono $m$ e $\sigma_{m}$. In sostanza, io sono abituato a usare $y$ e $x$, quando scrivo l’equazione di una curva. Qui $m$ è come $y$ e $\sigma_{m}$ è come $x$. Per comodità anziché scrivere $\rho_{1,2}$, scrivo semplicemente $\rho$ senza pedici. Tanto i titoli sono solo 2 e, quindi, il coefficiente di correlazione deve per forza essere solo tra quei 2 titoli.
Facendo i calcoli arrivo a $(m_{1} – m_{2})^{2} \sigma_{m}^{2} = m^{2}(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} – 2\rho \sigma_{1}\sigma_{2}) + 2m[m_{1}(\rho \sigma_{1}\sigma_{2} – \sigma_{2}^{2}) + m_{2}(\rho \sigma_{1}\sigma_{2} – \sigma_{1}^{2})] + m_{2}^{2}\sigma_{1}^{2} + m_{1}^{2}\sigma_{2}^{2} – 2m_{1}m_{2}\rho \sigma_{1}\sigma_{2}$
Che forma ha questa curva?
Pongo $A = (m_{1} – m_{2})^{2}$
$B = \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} – 2\rho \sigma_{1}\sigma_{2}$
$C = 2[m_{1}(\rho \sigma_{1}\sigma_{2} – \sigma_{2}^{2}) + m_{2}(\rho \sigma_{1}\sigma_{2} – \sigma_{1}^{2})]$ e $D = m_{2}^{2}\sigma_{1}^{2} + m_{1}^{2}\sigma_{2}^{2} – 2m_{1}m_{2}\rho \sigma_{1}\sigma_{2}$
$A, B, C, D$ sono dei semplici numeri, perché dipendono dai rendimenti, dalle deviazioni standard e dal coefficiente di correlazione dei singoli titoli, che sono tutti numeri.
Quindi, l’equazione diventa $A \sigma_{m}^{2} – Bm^{2} – Cm – D = 0$
Questa è l’equazione di una conica, la cui forma più generale è $ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0$
Per sapere di quale conica si tratta calcolo il $\Delta = b^{2} – 4ac$ e vedo che segno ha.
Per la mia equazione $\Delta = 4AB > 0$, perché $A > 0$ e anche $B>0$. Quindi, l’equazione $A \sigma_{m}^{2} – Bm^{2} – Cm – D = 0$ è l’equazione di un’iperbole, perché $\Delta > 0$.
Il ramo di iperbole viola è la frontiera efficiente su cui costruire i portafogli con i 2 titoli AMZN e JNJ, in base al rischio che decido di correre. Il punto evidenziato in giallo è il portafoglio con rischio più basso, a cui, ovviamente, corrisponde anche il rendimento più basso tra quelli offerti dai portafogli sulla frontiera.
Osservazione importante
Il fatto che il coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei 2 titoli è $\rho = 0,53$ mi dà un ramo di iperbole abbastanza corto su cui muovermi per costruire i portafogli efficienti. Più i titoli sono correlati, “meno” opzioni ho per costruire portafogli efficienti. Al limite, quando $\rho = 1$ (perfetta correlazione), gli unici portafogli si trovano lungo la linea blu.
Quindi, la frontiera efficiente con i dati dei titoli AMNZ e JNJ è quella nel grafico seguente. Ho tolto le rette corrispondenti a $\rho = 1$ e $\rho = -1$, perché ho visto che il coefficiente di correlazione è stato 0,53 per questi 2 titoli, nei 12 periodi mensili del 2013.
Che succede se il coefficiente di correlazione è negativo?
Se, ad esempio, avessi $\rho = -0,53$, cioè i rendimenti dei titoli hanno andamenti più o meno opposti, ottengo una frontiera efficiente più ampia.
Devo osservare che non tutti i portafogli sulla frontiera viola sono efficienti, ma solo quelli sulla parte piena della frontiera. I portafogli sulla parte tratteggiata non sono efficienti. Infatti, se fisso un livello di rischio $\sigma_{m}$ che sono disposto a correre, posso costruire 2 portafogli salendo verticalmente lungo la linea rossa tratteggiata. E’ evidente che quello all’incrocio tra la linea rossa tratteggiata e la linea viola piena è il portafoglio efficiente, perché, a parità di rischio, mi dà un rendimento maggiore del portafoglio (non efficiente) all’incrocio tra le due linee tratteggiate rossa e viola.
Il punto evidenziato in giallo è il portafoglio con rischio più basso, a cui, ovviamente, corrisponde anche il rendimento più basso tra quelli offerti dai portafogli efficienti sulla frontiera.
Calcolo della frontiera efficiente di un portafoglio con più di 2 titoli
Se invece di 2 ho $N$ titoli, il ragionamento che devo fare è lo stesso fatto per 2 titoli. La differenza è che ho una simbologia un po’ più complicata.
Il rendimento medio di un portafoglio di $N$ titoli è sempre la media pesata dei rendimenti medi di ciascun titolo. I pesi sono sempre le frazioni di capitale di capitale $C$ che investo su ciascun titolo.
Adesso il vincolo, anziché $w_{1} + w_{2} = 1$, è $\sum_{i=1}^{N}w_{i} = 1$. Ho semplicemente indicato con $w_{i}$ la frazione di capitale investita su un titolo. Quando sommo tutte le frazioni investite dal titolo $1$ al titolo $N$, questa somma deve fare ovviamente 1.
Rendimento del portafoglio con più di 2 titoli.
$m = \sum_{i=1}^{N}w_{i} m_{i}$ Media pesata dei rendimenti medi degli $N$ titoli in portafoglio.
Ho indicato con $m_{i}$ il rendimento medio di un titolo del portafoglio.
Quindi, la prima cosa che devo fare è calcolare $N$ medie, cioè le medie dei rendimenti di ogni titolo con cui vado a costruire il portafoglio.
RischiO DEL PORTAFOGLIO CON PIÙ DI 2 TITOLI.
Così come per 2 titoli, il calcolo della varianza con più di due titoli è più complicato.
Che cosa facevo con 2 titoli? Dovevo calcolare le varianze di ciascuno dei 2 titoli e poi la covarianza (o il coefficiente di correlazione) tra i rendimenti dei 2 titoli.
Adesso con $N$ titoli devo calcolare le $N$ varianze di ciascuno degli $N$ titoli in portafoglio. Poi, per ciascun titolo, devo calcolare le covarianze di quel titolo con ciascuno degli altri $N-1$ titoli. Quindi, devo calcolare $N$ varianze e $\frac{N(N-1)}{2}$ termini unici di covarianza. Divido per 2 perché ogni termine unico di covarianza è moltiplicato per 2. Ecco perché la matrice di covarianza è simmetrica.
Ad esempio, se ho un portafoglio con 3 titoli, devo calcolare 3 varianze. In più devo calcolare:
- $cov(R_{1}, R_{2})$, covarianza tra i rendimenti del titolo 1 e del titolo 2,
- $cov(R_{1}, R_{3})$, covarianza tra i rendimenti del titolo 1 e del titolo 3,
- $cov(R_{2}, R_{3})$, covarianza tra i rendimenti del titolo 2 e del titolo 3
Quindi ho $N = 3$ varianze da calcolare e $\frac{N(N-1)}{2} = 3$ termini unici di covarianza.
Il modo più compatto di scrivere la varianza di un portafoglio con $N$ titoli è: $\sigma_{m}^{2} = \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}w_{i}w_{j}cov(R_{i},R_{j})$
Fisso $i=1$ e faccio variare $j$ da $1$ a $N$. Poi passo a $i=2$ e faccio variare ancora $j$ da $1$ a $N$. E vado avanti fino a quando non arrivo a $i = N$.
Il rischio del portafoglio è $\sigma_{m} = \sqrt{\sigma_{m}^{2}}$ (radice quadrata della varianza).
E’ comodo scrivere la varianza come prodotto di matrici
Osservo i termini all’interno della doppia sommatoria della varianza: $w_{i}w_{j}cov(R_{i},R_{j})$
Posso vedere le frazioni $w_{i}$ di capitale $C$ da investire come un vettore con $N$ componenti, tante quanti sono i titoli del portafoglio. Questo vettore è una matrice (Nx1) di $N$ righe e $1$ colonna: $$X = \begin{pmatrix} w_{1}\\ w_{2}\\ ..\\ ..\\ ..\\ w_{N}\end{pmatrix}$$
Indico con $A$ la matrice di covarianza. Questa è una matrice (NxN) di $N$ righe e $N$ colonne:
\begin{pmatrix} {\color{Red} cov(R_{1},R_{1})} & cov(R_{1},R_{2}) &… &… &… & cov(R_{1},R_{N}) \\cov(R_{2},R_{1}) & {\color{Red} cov(R_{2},R_{2})} &… &… &… & cov(R_{2},R_{N})\\… &… & {\color{Red} cov(R_{3},R_{3})} &… &… &… \\… &… &… & {\color{Red} … } &… &… \\… &… &… &… & {\color{Red} cov(R_{N-1},R_{N-1})} &… \\cov(R_{N},R_{1})&… &… &… &… & {\color{Red} cov(R_{N},R_{N})} \end{pmatrix}
I termini in rosso lungo la diagonale sono le covarianze dei rendimenti di ciascun titolo con se stessi, cioè le varianze di ciascun titolo. Ad esempio ${\color{Red} cov(R_{1},R_{1})} = var(R_{1})$
Allora posso scrivere la varianza del portafoglio di $N$ titoli come:
$\begin{pmatrix} w_{1}& w_{2}& ..& ..& ..& w_{N}\end{pmatrix}$ è la matrice trasposta $X^T$ del vettore $X$
Quindi, in forma matriciale $\sigma_{m}^{2} = X^T A X$ dove $A$ è la matrice di covarianza.
Come sfrutto questa scrittura matriciale?
Intanto voglio verificare che $X^T A X$ mi dia un numero come risultato, perché la varianza $\sigma_{m}^{2}$ è un numero.
$X^T$ è una matrice (1xN) e $A$ è una matrice (NxN). Il prodotto riga per colonna di $X^TA$ mi dà come risultato una matrice (1xN). Ad esempio, il termine della prima riga e della prima colonna è la somma $\sum_{i=1}^{N}w_{i}cov(R_{i},R_{1})$, ottenuto sommando i prodotti di ciascun $w_{i}$ di $X^T$ per ciascun termine della prima colonna della matrice $A$.
Adesso devo moltiplicare riga per colonna questa matrice (1xN) per la matrice $X$, che è una matrice (Nx1). Il risultato mi dà una matrice (1×1), cioè un unico numero, che è proprio la varianza $\sigma_{m}^{2}$.
Ad esempio, quando moltiplico il termine $\sum_{i=1}^{N}w_{i}cov(R_{i},R_{1})$ per $w_{1}$, ottengo $\sum_{i=1}^{N}w_{i}w_{1}cov(R_{i},R_{1})$. A questo devo sommare $\sum_{i=1}^{N}w_{i}w_{2}cov(R_{i},R_{2})$, ottenuto moltiplicando la seconda colonna $\sum_{i=1}^{N}w_{i}cov(R_{i},R_{2})$ per $w_{2}$, che è la seconda riga di $X$. E così via fino ad ottenere tutta l’espressione della varianza.
Sfrutto questa scrittura matriciale per calcolarmi la varianza con excel.
Voglio costruire un portafoglio con $N=11$ titoli. Per prima cosa apro il mio foglio di lavoro e riporto le quotazioni mensili dei prezzi dei miei 11 titoli. Ad esempio, vado a vedere il prezzo dei miei titoli il giorno 18 di ogni mese per 54 mesi consecutivi. Quindi, mi baso su 54 periodi.
Con questi dati mi posso calcolare i rendimenti mensili di ogni titolo in ciascuno dei 54 periodi. Quindi, mi calcolo la media dei rendimenti di ogni titolo su questi 54 periodi.
A questo punto mi costruisco la matrice $A$ delle covarianze vista sopra.
Fin qui ho utilizzato le stesse formule di Excel viste nel caso del portafoglio con 2 titoli, solo che adesso ho 11 titoli da considerare.
Adesso mi costruisco una tabella con le frazioni $w_{i}$ di capitale da investire su ogni singolo titolo. Ogni $w_{i} > 0$ e $\sum_{i=1}^{11}w_{i}=1$.
Adesso devo calcolare rendimento e varianza di questo portafoglio
Il rendimento è la media pesata delle medie dei rendimenti di ciascun titolo. La formula che ho usato nel foglio excel è =MATR.PRODOTTO(O2:Y2;AC6:AC16)
La matrice di celle O2:Y2 contiene le medie dei rendimenti degli 11 titoli sui 54 periodi considerati. Le medie nelle celle O2:Y2 sono quelle cerchiate in rosso nella figura sotto. La matrice O2:Y2 è una matrice (1×11).
Invece, la matrice di celle AC6:AC16 contiene le frazioni $w_{i}$ di capitale investite su ciascuno degli 11 titoli. Le frazioni $w_{i}$ nelle celle AC6:AC16 sono quelle cerchiate in rosso nella figura sotto. La matrice AC6:AC16 è una matrice (11×1).
Per calcolare la varianza ho usato la formula =MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO(MATR.TRASPOSTA(AC6:AC16);AC20:AM30);AC6:AC16) che è la traduzione in excel di $X^TAX$
AC6:AC16 è la matrice $X$ delle frazioni $w_{i}$ di capitale investite su ciascun titolo.
MATR.TRASPOSTA(AC6:AC16) è $X^T$, la trasposta di $X$. Questa è una matrice (1×11).
AC20:AM30 è la matrice delle covarianze vista sopra, che è una matrice (11×11).
Per questo portafoglio di 11 titoli il rendimento medio sui 54 periodi analizzati è stato dello 0,61%, con un rischio $\sigma_{m}$ del 3,57%, calcolato come radice quadrata della varianza, ottenuta come appena visto.
E per trovare la composizione di portafoglio con rischio minimo?
Devo minimizzare la varianza del portafoglio, che è una funzione di $N$ variabili, le $N$ frazioni $w_{i}$ di capitale $C$ che vado ad investire su ciascuno degli $N$ titoli. Le frazioni $w_{i}$ devono rispettare il vincolo che $\sum_{i=1}^{n}w_{i}=1$.
$\sigma_{m}^{2} = \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}w_{i}w_{j}cov(R_{i},R_{j})$
Quindi, devo cercare il $min(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}w_{i}w_{j}cov(R_{i},R_{j}))$, sotto il vincolo che $\sum_{i=1}^{n}w_{i}=1$.
$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}w_{i}w_{j}cov(R_{i},R_{j}) – \lambda(\sum_{i=1}^{n}w_{i} – 1)$ è la mia lagrangiana. Devo cercare i punti di minimo di $\sigma_{m}^{2}$ sul bordo $\sum_{i=1}^{n}w_{i} – 1 = 0$, che è un luogo di zeri.
Con excel posso usare il risolutore.
Imposto come cella obiettivo quella in cui calcolo la deviazione standard del portafoglio e richiedo che ne cerchi il minimo.
Inoltre indico come celle variabili che si possono modificare quelle da AC6 ad AC16, dove si trovano le frazioni di capitale da investire.
Poi impongo che la cella AC17 = 1. Infatti in AC17 ho la somma di tutti i $w_{i}$.
Infine spunto il quadretto accanto al quale è scritto: “rendi non negative le variabili senza vincoli”, perché ogni frazione $w_{i}$ di capitale non può essere negativa, ma deve sempre essere $\geq 0$.
Cliccando sul pulsante “risolvi”, il risolutore mi trova il mix di portafoglio con rischio minimo.
Posso usare il risolutore anche per massimizzare il rendimento, una volta fissato il livello di rischio che voglio correre. In questo caso, la cella obiettivo da massimizzare deve essere quella in cui ho calcolato il rendimento $m$ del portafoglio. Inoltre, devo aggiungere il vincolo alla cella che calcola la deviazione standard. Essa deve avere il valore pari al rischio che ho deciso di correre.