Per andare all’università in macchina, un matematico può scegliere tra diverse alternative, di cui ne sono elencate 3.
- c è la strada più corta passante per il centro, ma c’è molto traffico;
- t è la tangenziale: c’è meno traffico, ma è più lunga, anche se più veloce:
- p è la strada che passa per un paese vicino, evitando il traffico del centro.
Che cosa vuol dire questo modello? Se io parto da casa e devo arrivare all’università entro 30 minuti, che strada prendo? c = per il centro; t = tangenziale; p = passante per un paese vicino?
E’ un problema di decisione aleatorio, perché i tempi di percorrenza sono aleatori, perché dipendono dalle condizioni di traffico.
Allora faccio un modello di questi tempi di percorrenza: suppongo che questi tempi di percorrenza seguano la distribuzione normale e vado a vedere in che modo.
Dalle statistiche precedenti ho appurato che:
- passando per c, si impiega $m_{c} =$ 28′ con $\sigma_{c} =$ 7′ 30″
- passando per p, si impiega $m_{p} =$ 32′ con $\sigma_{p} =$ 4′ 20”
- passando per t, si impiega $m_{t} =$ 33′ con $\sigma_{t} =$ 1′ 10”.
La strada per c è la più breve e ci vogliono in media 28′; per p, più lunga di c, ma un po’ meno lunga di t, ci vogliono 32′. Però devo guardare lo scarto standard. E’ vero che, passando per c, ci vogliono in media 28′, ma è più rischioso, perché più lo scarto è grande e più c’è incertezza, cioè ci prendo meno se tento di stimare il tempo di percorrenza con la media.
Viceversa, più lo scarto standard è piccolo e meno c’è incertezza. Quindi, stimando il tempo di percorrenza con la media, ci prendo di più.
La tangenziale t sembra la migliore, perché è vero che ha la media più alta, ma ha lo scarto standard minore: non sono tanti i minuti in più o in meno che rischio di impiegare rispetto alla media, confrontati ai rischi che corro nelle altre due alternative.
Come decido?
Fatti questi commenti qualitativi, ancora non so decidere! Perché è vero che con t ho meno incertezze, ma impiego 33′ contro 28′ che potrei impiegare con c.
Per poter decidere è necessario che faccio i conti: devo prendere le distribuzioni di probabilità e metterci dentro i numeri, per decidere che cosa devo fare.
Ho ipotizzato che i 3 percorsi seguano una distribuzione normale, cioè se scelgo il percorso c, il tempo di percorrenza è un numero aleatorio $X_{m_{c}, \sigma_{c}}$. Analogamente per p il tempo di percorrenza è un numero aleatorio $X_{m_{p}, \sigma_{p}}$ e per t un numero aleatorio $X_{m_{t}, \sigma_{t}}$.
Se $X$ è il tempo di percorrenza da A ad U e voglio arrivare all’università in meno di 30′, io voglio che $X \leq 30$. Qual è la probabilità $P(X \leq 30)$? E’ la funzione di ripartizione calcolata nel punto $X = 30$.
Allora vado a calcolare i 3 casi
- $P(X_{t} \leq 30) = F_{t}(30) = \Phi_{33^{‘}, 1^{‘} 10^{”}} (30) =$ probabilità che arrivo entro 30’, se passo per t $\Rightarrow \Phi(\frac{30^{‘} – 33^{‘}}{1^{‘} 10^{“}}) = 0,005$;
- $P(X_{c} \leq 30) = F_{c}(30) = \Phi_{28^{‘}, 7^{‘} 30^{”}} (30) =$ probabilità che arrivo entro 30’, se passo per c $\Rightarrow \Phi(\frac{30^{‘} – 28^{‘}}{7^{‘} 30^{“}}) = 0,6$;
- $P(X_{p} \leq 30) = F_{p}(30) = \Phi_{32^{‘}, 4^{‘} 20^{”}} (30) =$ probabilità che arrivo entro 30’, se passo per p $\Rightarrow \Phi(\frac{30^{‘} – 32^{‘}}{4^{‘} 20^{“}}) = 0,32$.
Uso la $\Phi$ della normale standard, andando a leggere i valori tabulati.
Che strada devo prendere per arrivare entro 30′? Devo prendere la strada che mi dà la maggiore probabilità di realizzare l’obiettivo. Dai dati ottenuti vedo che non sono messo bene, perché con queste medie e con questi scarti standard nessuna delle probabilità è molto alta. La strada c, passante per il centro, è quella che mi dà la probabilità più alta di arrivare entro 30′.
Posso fare qualche considerazione ulteriore?
Adesso suppongo di avere più tempo a disposizione e di voler calcolare le probabilità di arrivare entro 35′, passando per i 3 diversi percorsi.
Passando per c, $\Phi_{m, \sigma} = 0,824$
Passando per p, $\Phi_{m, \sigma} = 0,748$
Mentre passando per t, $\Phi_{m, \sigma} = 0,956$
Ovviamente, avendo più tempo a disposizione, tutte le probabilità aumentano. Ma va notato che il percorso t, con la probabilità più bassa per $X \leq 30^{‘}$, adesso ha la probabilità più alta per $X \leq 35^{‘}$.
Quindi, attraverso il calcolo delle probabilità per $X \leq 30^{‘}$ e $X \leq 35^{‘}$, posso decidere quale percorso scegliere, in base alla probabilità più alta di raggiungere il mio obiettivo.
In questo esercizio ho calcolato la probabilità che $X \leq x$, cioè che il numero aleatorio abbia un valore alla sinistra di $x$.
Di quanto potrei scostarmi dal valor medio?
Adesso voglio vedere qual è la probabilità che il numero aleatorio, con distribuzione normale di parametri $m$, $\sigma$, si scosti dal suo valor medio di $K$ volte $\sigma$ (dove $K$ può essere anche un intero).
Si dimostra che, per qualunque $m$ reale e $\sigma > 0$, $P(|X_{m, \sigma} – m| \leq K \sigma) = P(|X_{0, 1}| \leq K) = 2\Phi(K) – 1$
Cioè la probabilità che $X$ si discosti dal suo valor medio di $K \sigma$ è data dalla probabilità della normale standard. Io non mi chiedo la probabilità di un qualunque intervallo, ma di un intervallo simmetrico centrato attorno al valor medio.
Se pongo $m = 0$ e $\sigma = 1$, trovo che questa è la probabilità dell’intervallo $[-K, K]$. Il risultato importante di questo teorema è che questa probabilità non dipende da $m$ e da $\sigma$, ma solo da $K$. Cioè fissato $K$, la probabilità è la stessa per tutte le possibili distribuzioni normali.
Cambiando $m$ e $\sigma$, cambia la forma della curva: più $\sigma$ è piccolo e più la curva è stretta, perché $\sigma$ piccolo vuol dire meno incertezza.
E’ interessante vedere come si dimostra.
$P(|X_{m, \sigma} – m| \leq K \sigma) = P(m – K \sigma \leq X_{m, \sigma} \leq m + \sigma) = \Phi_{m, \sigma}(m + K \sigma) – \Phi_{m, \sigma}(m – K \sigma) = \Phi(K) – \Phi(-K)$.
Nell’ultimo passaggio sono passato alla funzione di ripartizione della normale standard attraverso la relazione: $\Phi_{m, \sigma}(X) = \Phi (\frac{X – m}{\sigma})$, tenendo conto che nella mia espressione $X = m + K \sigma$ e $X = m – K \sigma$.
Siccome $\Phi(-X) = 1 – \Phi(X)$, ho: $\Phi(K) – \Phi(-K) = \Phi(K) – 1 + \Phi(K) = 2 \Phi(K) -1$.
I grafici seguenti visualizzano perché $\Phi(-X) = 1 – \Phi(X)$ e perché $P(m – K \sigma \leq X_{m, \sigma} \leq m + \sigma) = \Phi_{m, \sigma}(m + K \sigma) – \Phi_{m, \sigma}(m – K \sigma)$.
