I fasori sono grandezze per trattare problemi in regime sinusoidale. Il prodotto tra due fasori – che sono numeri complessi – non ha le dimensioni fisiche di una potenza. Come possiamo fare per calcolare la potenza?
Consideriamo il seguente componente:
$V(t)$, misurata nel dominio del tempo, è misurata in Volt. $i(t)$, misurata nel dominio del tempo, è misurata in Ampère.
$\Rightarrow P(t) = V(t) \cdot i(t) = [V] [A] = [W]$
Ma se $V(t)$ e $i(t)$ sono grandezze sinusoidali, che espressione avrà la potenza?
$V(t) = V_{M} cos(\omega t + \phi_{V}) \text{ V}$ e $i(t) = I_{M} cos(\omega t + \phi_{I}) \text{ A}$, dove $V_{M} = V_{max}$ e $I_{M} = I_{max}$.
I fasori corrispettivi sono: $\overline{V} = V_{M} e^{j \phi_{V}}$ e $\overline{I} = I_{M} e^{j \phi_{I}}$
NOTA. Nei fasori non mettiamo unità di misura perché sono grandezze complesse.
Se moltiplichiamo $V(t)$ e $i(t)$ nel dominio del tempo, otteniamo: $P(t) = V_{M} I_{M} cos(\omega t + \phi_{V}) cos(\omega t + \phi_{I})$
Questa espressione abbastanza complicata può essere ulteriormente elaborata, ricorrendo alla trigonometria:
$cos \alpha cos \beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha – \beta)]$
$\Rightarrow P(t) = \frac{1}{2} V_{M} I_{M}[cos(\omega t + \phi_{V} + \omega t + \phi_{I}) + cos(\omega t + \phi_{V} – \omega t – \phi_{I})] =$
$=\frac{1}{2} V_{M} I_{M}[{\color{Magenta} cos(\phi_{V} – \phi_{I})} + {\color{Green} cos(2 \omega t + \phi_{V} + \phi_{I})}]$
Osserviamo che il termine ${\color{Magenta} cos(\phi_{V} – \phi_{I})}$ non dipende dal tempo.
Il termine ${\color{Green} cos(2 \omega t + \phi_{V} + \phi_{I})}$ lo chiamiamo POTENZA FLUTTUANTE.
Se, invece di lavorare con la potenza istantanea, lavoriamo con la potenza media, troviamo che la potenza media non dipende più dal tempo, perché la media di una sinusoide su un periodo è zero.
$\Rightarrow < P(t) > = \frac{1}{2} V_{M} I_{M} {\color{Magenta} cos(\phi_{V} – \phi_{I})}$ POTENZA MEDIA
Questo è il valore di potenza, che noi utilizzeremo nei nostri calcoli.
Se avessimo un carico esclusivamente resistivo, la legge che lega tensione e corrente è: $v (t) = R i (t)$
Quindi, se $i_{R} = I_{M} cos( \omega t)$, abbiamo che $v_{R} (t) = R I_{M} cos( \omega t)$ (in un resistore corrente e tensione hanno la stessa fase $\Rightarrow \phi_{V} = \phi_{I}$)
$\Rightarrow P_{R} (t) = R I_{M}^{2} [cos( \omega t)]^{2} = \frac{1}{2} R I_{M}^{2} [1 + cos(2 \omega t)] \text{ W}$
NOTA. $[cos( \omega t)]^{2}$ lo abbiamo visto come $cos( \omega t) \cdot cos( \omega t) = \frac{1}{2} [cos( \omega t – \omega t) + cos(\omega t + \omega t)]$
Quindi, la potenza media su un resistore è: $< P_{R} (t) > = \frac{1}{2} R I_{M}^{2}$
Se avessimo avuto un generatore costante, la potenza assorbita sarebbe stata $R I^{2}$.
Quindi, in regime sinusoidale, un resistore assorbe metà della potenza massima, rispetto ad un regime costante.
Il termine $\frac{1}{2} R I_{M}^{2}$ può essere scritto come $R \frac{I_{M}^{2}}{2} = R I_{eff}^{2}$, dove ho definito $I_{eff} = \frac{I_{M}}{\sqrt{2}}$
Usando questa convenzione, indipendentemente dal regime, tutte le espressioni saranno analoghe al caso di regime costante (al posto di $I$ e $V$ abbiamo $I_{eff}$ e $V_{eff}$). Per noi, invece, è indifferente lavorare con i valori massimi o i valori efficaci.
Torniamo ai fasori:
$\overline{V} = V_{M} e^{j \phi_{V}}$ e $\overline{I} = I_{M} e^{j \phi_{I}}$
Definiamo la POTENZA COMPLESSA, che non ha significato fisico: $\overline{A} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{2} \overline{V} \cdot \overline{I}^{*}$
Quindi, per definizione, la potenza complessa è $\frac{1}{2} \overline{V}$ moltiplicato il complesso e coniugato di $\overline{I}$.
$\Rightarrow \overline{A} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{1}{2} \overline{V} \cdot \overline{I}^{*} = \frac{1}{2} V_{M} e^{j \phi_{V}} I_{M} e^{- j \phi_{I}} = \frac{1}{2} V_{M} I_{M} e^{j (\phi_{V} – \phi_{I})}=$
$= {\color{Red} \frac{1}{2} V_{M} I_{M} cos(\phi_{V} – \phi_{I})} + j {\color{Cyan} \frac{1}{2} V_{M} I_{M} sin(\phi_{V} – \phi_{I})}$
Quindi, la mia POTENZA COMPLESSA ha una parte reale e una parte immaginaria. La parte reale è pari alla potenza media assorbita dal mio bipolo. Questa quantità la chiamo POTENZA ATTIVA e la indico con $P$.
$\Rightarrow P = \text{ POTENZA ATTIVA } = {\color{Red} \frac{1}{2} V_{M} I_{M} cos(\phi_{V} – \phi_{I})}$
Allora, per trovare la potenza media assorbita dal mio bipolo, posso moltiplicare direttamente $\frac{1}{2} \overline{V}$ per il complesso e coniugato della corrente $\overline{I}^{*}$, senza dover tornare nel dominio del tempo. La parte reale di questo prodotto è pari alla potenza media assorbita.
Che cosa facciamo con la parte immaginaria? Essa viene indicata con il simbolo $Q$ e si chiama POTENZA REATTIVA.
$\Rightarrow Q = \text{ POTENZA REATTIVA } = {\color{Cyan} \frac{1}{2} V_{M} I_{M} sin(\phi_{V} – \phi_{I})}$
Quindi, $\overline{A} = P + j Q$
La potenza attiva $P$ è la potenza media $< P (t) >$ assorbita dal mio componente.
Per un resistore, $sin(\phi_{V} – \phi_{I}) = 0$, perché corrente e tensione sono in fase. Quindi, la potenza reattiva per un resistore è zero ($Q = 0$).
Per un induttore, $sin(\phi_{V} – \phi_{I}) = 1 \Rightarrow$ l’induttore ha potenza reattiva massima: $Q = \frac{1}{2} V_{M} I_{M}$. Mentre $cos(\phi_{V} – \phi_{I}) = 0 \Rightarrow$ l’induttore non assorbe potenza; ha potenza attiva $P = 0$.
Per un capacitore, $sin(\phi_{V} – \phi_{I}) = -1 \Rightarrow$ potenza reattiva negativa: $Q = – \frac{1}{2} V_{M} I_{M}$. Mentre $cos(\phi_{V} – \phi_{I}) = 0 \Rightarrow P = 0$.
La POTENZA REATTIVA è legata alla presenza di componenti a memoria, perché introducono uno sfasamento tra tensione e corrente.
Se prevalgono componenti induttivi, la potenza reattiva è positiva.
Se prevalgono componenti capacitivi, la potenza reattiva è negativa.
La POTENZA ATTIVA si misura in Watt. La POTENZA REATTIVA si misura in VAR (= Volt Ampère Reattivi).
Quanto vale $|\overline{A}|$?
$|\overline{A}| = \sqrt{P^{2} + Q^{2}} = \frac{1}{2} V_{M} I_{M} = V_{eff} I_{eff}$
Il modulo della potenza complessa lo chiamiamo POTENZA APPARENTE e si misura in $Volt \cdot Ampère$, non in Watt.
Esempio
$1000 VA = |\overline{A}|$ (VA =Volt Ampère) è la potenza apparente che si legge su un trasformatore. Se il secondario del trasformatore è a 220 V, allora la corrente $I_{eff} = \frac{1000}{220} A$ è la corrente efficace massima, che può scorrere sul trasformatore.
La potenza massima dipende dal componente collegato. La potenza apparente si dividerà in potenza attiva $P$ e in potenza reattiva $Q$, a seconda del componente collegato. Solo se il componente è un resistore, la potenza apparente darà solo potenza attiva $P$.
Esercizio
Calcolare la potenza complessa dissipata da ciascun componente del circuito.
$V_{g_{1}} (t) = 10 cos(\omega t)$, $V_{g_{2}} (t) = 5 sin(\omega t)$, $\omega = 1 Hz$
$C = 1 F$, $L = 1 H$, $R_{1} = R_{2} = R_{3} = 1 \Omega$
Passiamo ai fasori: $\overline{V}_{g_{1}} = 10$, $\overline{V}_{g_{2}} = 5 e^{- j \frac{\pi}{2}} = -5 j$
$z_{R_{1}} = z_{R_{2}} = z_{R_{3}} = 1$, $z_{L} = j \omega L = j$, $z_{C} = \frac{1}{j \omega C} = -j$
Metodo dei nodi. LKC al nodo $\overline{V}_{C}$:
$\frac{\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{C}}{1} + \frac{0 – \overline{V}_{C}}{-j} + \frac{\overline{V}_{g_{2}} – \overline{V}_{C}}{1} = 0 \Rightarrow \overline{V}_{g_{1}} + \overline{V}_{g_{2}} – 2 \overline{V}_{C} – j \overline{V}_{C} = 0$
$\Rightarrow \overline{V}_{C} = \frac{\overline{V}_{g_{1}} + \overline{V}_{g_{2}}}{2 + j} = \frac{10 – 5 j}{2 + j} = 5 \frac{(2 – j)(2 – j)}{5} = 3 – 4 j$
Adesso calcoliamo le potenze complesse.
$\overline{A}_{R_{1}} = \frac{1}{2} \overline{V}_{R_{1}} \cdot \overline{I}_{R_{1}}^{*} = \frac{1}{2}(\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{C})(\frac{\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{C}}{z_{R_{1}}})^{*} = \frac{1}{2} \frac{(|\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{C}|)^{2}}{1} = \frac{1}{2} (|7 – 4 j|)^{2} = \frac{65}{2} W$
$\overline{A}_{R_{2}} = \frac{1}{2} \overline{V}_{R_{2}} \cdot \overline{I}_{R_{2}}^{*} = \frac{1}{2}(\overline{V}_{g_{2}} – \overline{V}_{C})(\frac{\overline{V}_{g_{2}} – \overline{V}_{C}}{z_{R_{2}}})^{*} = \frac{1}{2} \frac{(|\overline{V}_{g_{2}} – \overline{V}_{C}|)^{2}}{1} = \frac{1}{2} (|- 3 – j|)^{2} = 5 W$
Per la capacità: $\overline{A}_{C} = \frac{1}{2} \overline{V}_{C} \cdot \overline{I}_{C}^{*} = \frac{1}{2} \overline{V}_{C}(\frac{\overline{V}_{C}}{z_{C}})^{*} = \frac{1}{2} \frac{(|\overline{V}_{C}|)^{2}}{z_{C}^{*}} = \frac{1}{2} \frac{(|3 – 4 j|)^{2}}{j} = \frac{25}{2 j} = – \frac{25}{2} j$
Abbiamo solo POTENZA REATTIVA con $Q < 0$ come ci aspettiamo per un condensatore.
E sull’induttore e sulla resistenza $R_{3}$?
Li trattiamo come un unico componente, perché sappiamo già che l’induttore assorbe solo potenza reattiva (parte immaginaria) e la resistenza assorbe solo potenza attiva (parte reale).
$\overline{A}_{L, R_{3}} = \frac{1}{2}(\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{g_{2}})(\frac{\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{g_{2}}}{1 + j})^{*} = \frac{1}{2} \frac{(|\overline{V}_{g_{1}} – \overline{V}_{g_{2}}|)^{2}}{1 – j} = \frac{1}{2} \frac{(|10 + 5 j|)^{2}}{1 – j} = \frac{1}{2} \frac{125}{2} (1 + j) = \frac{125}{4} + j {\color{Cyan} \frac{125}{4}}$
$Q = {\color{Cyan} \frac{125}{4}} > 0$ è la potenza reattiva assorbita dall’induttore.
Per calcolare le potenze complesse sui generatori, occorre prima calcolare le correnti sui generatori, applicando le LKC ai nodi $\overline{V}_{g_{1}}$ e $\overline{V}_{g_{2}}$.
Quindi, abbiamo visto che riusciamo a calcolare tutte le potenze di ciascun componente, senza doverci preoccupare di tornare nel dominio del tempo.