Se voglio trovare le leggi che regolano i cambiamenti che si verificano nello stato di un corpo al passare del tempo, devo trovare un modo di descrivere e tracciare questi cambiamenti. Un modo abbastanza naturale è tracciare la posizione di un copro a diversi istanti di tempo.
Descrivere il moto.
Sono sulla mia macchina e percorro una strada rettilinea. Sul contachilometri leggo i chilometri percorsi dopo ogni minuto, li scrivo in una tabella e li rappresento su un grafico.
Adesso che cosa ci faccio con questi dati nella tabella e nel grafico? Vedo che durante il mio tragitto l’automobile ha cambiato continuamente velocità. Ad esempio, subito dopo la partenza ho percorso 0,5 km in 1 minuto. Ma nel minuto successivo ho tenuto una velocità maggiore, percorrendo $ 2,0 \ – \ 0,5 = 1,5 \ km $ nel 2° minuto. Nel 3° minuto sono andato ancora più veloce: ho percorso $ 4,0 \ – \ 2,0 = 2 \ km $ in un minuto. Nei minuti 4 e 5 ho rallentato, percorrendo 0,2 km per ogni minuto. Anche sul grafico vedo che la linea si appiattisce, mentre nei minuti precedenti saliva più rapidamente. Dopodiché dal 6° minuto la mia velocità è aumentata: la linea del grafico sale più rapidamente.
Adesso considero un esempio più semplice. Immagino di lasciar cadere una pietra e di scrivere in una tabella di quanti metri è caduta dopo ogni secondo. Anche per la pietra che cade posso fare un grafico con i dati raccolti nella mia tabella.
Con quale velocità cade la pietra? Guardo la tabella e il grafico e vedo che la velocità della pietra aumenta continuamente secondo dopo secondo. Ad esempio, cade di 5 metri nel 1° secondo, ma nel secondo successivo cade di altri $ 20 \ – \ 5 = 15 \ m $. E dopo ancora 1 secondo è caduta di altri $ 45 \ – \ 20 = 25 \ m $. La curva del grafico scende sempre più rapidamente al passare dei secondi.
Velocità.
Che velocità ha la pietra che cade dopo 5 secondi? Guardo la tabella e vedo che durante il 5° secondo la pietra è caduta da 80 m a 125 m. Quindi, ha percorso $ 125 \ – \ 80 = 45 \ m/s $. Posso dire che la velocità della pietra è 45 m/s dopo 5 secondi? 45 m/s è la velocità media della pietra nel 5° secondo. Però, sia dalla tabella, sia dal grafico vedo che la velocità della pietra aumenta sempre a mano a mano che cade. Quindi, se la velocità della pietra aumenta continuamente e 45 m/s è la velocità media tenuta nel 5° secondo, dopo 5 secondi la velocità della pietra deve essere maggiore di 45 m/s.
Io so che la legge che lega la distanza di caduta di una pietra al tempo è $ s = 5t^2 $. Ad esempio, dopo 5,1 secondi la distanza percorsa dalla pietra è $ 5 (5,1)^2 = 130,05 \ m $. Questo significa che la pietra ha percorso $ 130,05 – 125 = 5,05 \ m $ nel decimo di secondo successivo a 5 secondi. Quindi ha viaggiato ad una velocità media di 50,5 m/s nel decimo di secondo tra 5 secondi e 5,1 secondi.
Se considero il centesimo di secondo successivo a 5 secondi, la distanza percorsa dalla pietra in 5,01 secondi è $ 5 (5,01)^2 = 125,5005 \ m $. La distanza percorsa nell’ultimo centesimo di secondo è $ 125,5005 \ – \ 125 = 0,5005 \ m $. Quindi la pietra ha viaggiato ad una velocità media di 50,05 m/s nel centesimo di secondo successivo al 5° secondo.
Velocità come derivata.
Allora, se voglio sapere la velocità ad certo istante $ t_0 $ (5 secondi nell’esempio), posso chiedermi: “dove si troverà la pietra al tempo $ t_0 $ più una piccolissima quantità di tempo?”
Se indico con $ \varepsilon $ la piccolissima quantità di tempo, la distanza percorsa dalla pietra è data da $ s = 5(t_0 + \varepsilon)^2 = 5{t_{0}}^{2} + 10t_{0}\varepsilon + 5\varepsilon^{2} $.
La distanza percorsa esattamente al tempo $ t_0 $ è $ s = 5{t_{0}}^{2} $.
Quindi, la distanza percorsa dalla pietra nella piccolissima quantità di tempo $ \varepsilon $ trascorsa dopo il tempo $ t_0 $ è $ 10t_{0}\varepsilon + 5\varepsilon^{2} $.
In prima approssimazione, posso dire che la velocità tenuta nel piccolissimo intervallo di tempo $ \varepsilon $ è data da $ v = \frac{distanza \ percorsa}{tempo \ impiegato \ a \ percorrerla} = \frac{10t_{0}\varepsilon +5\varepsilon ^{2}}{\varepsilon }=10t_{0} +5\varepsilon $
Ora, se immagino di rendere sempre più piccolo il piccolissimo intervallo di tempo $ \varepsilon $, cioè se $ \varepsilon \rightarrow 0 $, la velocità della pietra è $ v = 10t_{0} $. Questa è la velocità della pietra nel preciso istante $ t_{0} $.
Quindi, la velocità della pietra dopo $ t_{0} = 5 $ secondi è $ v = 10t_{0} = 10 (5) = 50 \ m/s $.
Allora posso calcolare la velocità di un corpo ad un certo istante facendo la derivata della sua posizione rispetto al tempo: $ \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} $.
Problema inverso.
Adesso immagino di avere la tabella delle velocità di un corpo a diversi istanti di tempo. Per esempio, ho la velocità della pietra che cade a diversi istanti di tempo. Come faccio a calcolare di quanti metri è caduta la pietra dopo 1, 2, 3, 4 secondi?
Nel 1° secondo la velocità della pietra passa da 0, quando inizia la sua caduta, a 10 m/s. Allora posso calcolarmi la media della velocità tenuta dalla pietra in questo 1° secondo, come media tra la velocità all’inizio e alla fine di questo intervallo di tempo: $ v_{1}=\frac{0+10}{2}= 5 \ m/s $.
Quindi dico che, se la pietra ha viaggiato ad una media di 5 m/s, la distanza percorsa è $ \Delta s_{1} \sim v_{1}\Delta t = 5 \ m $.
Nel 2° secondo, la media della velocità tenuta dalla pietra è $ v_{2}=\frac{10 +20}{2}= 15 \ m/s $. Quindi adesso dico che, se la pietra ha viaggiato ad una media di 15 m/s, la distanza percorsa è $ \Delta s_{2} \sim v_{2}\Delta t = 15 \ m $.
Sommando le distanze percorse dalla pietra nei primi 2 secondi, ottengo la distanza totale percorsa dalla pietra dopo 2 secondi da quando l’ho lasciata cadere: $ s = 5 + 15 = 20 \ m $.
Allora, se per ogni intervallo di 1 secondo mi calcolo la velocità media (come media tra le velocità all’inizio e alla fine dell’intervallo) e poi sommo le distanze percorse in ciascun intervallo, ottengo approssimativamente la distanza totale percorsa.
$ s = \sum_{i=1}^{n}v(t_{i})\Delta t $, dove $ v(t_{i}) $ è la velocità media durante ciascuno degli $ n $ intervalli di tempo in cui osservo la caduta della pietra.
La distanza come integrale.
La sommatoria mi dà una stima approssimata della distanza percorsa. Se, invece di considerare intervalli di 1 secondo, io considero intervalli di tempo sempre più piccoli, l’approssimazione della mia sommatoria si avvicina sempre di più all’effettiva distanza percorsa dalla pietra.
Quindi, se passo al limite per $ \Delta t \rightarrow 0 $, riesco a calcolare la distanza percorsa dalla pietra dopo 1, 2, 3, …, $ \tau $ secondi da quando l’ho lasciata cadere.
Se conosco la velocità in funzione del tempo, posso calcolare la distanza percorsa dopo $ \tau $ secondi come integrale della velocità.
$ s = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}v(t_{i})\Delta t = \int_{0}^{\tau }v(t)dt $.
L’accelerazione.
Come cambia la velocità? Dalla tabella o dal grafico della velocità posso calcolare di quanto varia la velocità della pietra ad ogni secondo, ma i valori ottenuti da questi dati mi dànno solo una media.
Anche in questo caso, se potessi sapere quanto vale la velocità ad un tempo $ t + \Delta t $, avrei che la variazione di velocità è: $ \Delta v = v(t + \Delta t) – v(t) $. Considerando $ \Delta t $ sempre più piccoli avrei un’approssimazione sempre migliore di quanto varia la velocità ad un certo istante di tempo t.
Quindi, posso calcolare l’accelerazione di un corpo ad un certo istante di tempo come derivata prima della velocità rispetto al tempo:
$ a(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} $.