Ho visto che esistono fenomeni senza usura, in cui il numero aleatorio X = “tempo di attesa fino al primo guasto” o “durata” è retto dalla distribuzione esponenziale. Esistono anche i fenomeni con usura? Posso introdurre un parametro che dia un qualche senso alla misura di questa usura. Questo parametro è il tasso di avaria (o di rischio).
Introduco la funzione tasso di avaria, che si definisce così: dato un numero aleatorio X, il tasso di avaria è il rapporto tra la sua densità f(X) e la sua funzione di sopravvivenza S(X)
$h(X) = \frac{f(X)}{S(X)}$
E’ la probabilità di non sopravvivere entro un tempo $\Delta x$, dato che l’apparecchiatura è sopravvissuta fino all’istante x: $P(X < x + \Delta x | X > x)$
Che significato ha intuitivamente il tasso di avaria?
Faccio un piccolo calcolo. Considero la probabilità che il mio numero aleatorio $X$ sia minore di $(x + \Delta x)$, supposto che $X$ sia maggiore di $x$: $P(X < x + \Delta x | X > x)$
Che cosa rappresenta questa probabilità condizionata?
$X > x$ vuol dire che l’apparecchiatura è ancora in funzione: questo è l’evento condizionante.
Qual è, invece, la probabilità che l’apparecchiatura non sia in funzione all’istante $(x + \Delta x)$? Questa probabilità è $P(X < x + \Delta x)$.
Quindi l’apparecchiatura si rompe prima di $(x + \Delta x)$, supposto che sia sopravvissuta fino all’istante $x$.
$P( X < x + \Delta x | X > x) = \frac {P(x < X < x + \Delta x)}{P(X > x)} = \frac{F(X + \Delta X) – F(X)}{S(X)} = \frac{F^{I}(X) \Delta X}{S(X)} = \frac{{\color {Red} f(X)} \Delta X}{{\color {Red }S(X)}} = {\color {Red} h(X)} \Delta X$
Quindi, si può dire che la funzione $h(X)$ dà il tasso di avaria istantaneo, perché dà la probabilità che l’apparecchiatura si rompa prima dell’istante $(x + \Delta x)$, supposto che sia durata (= che sia ancora in vita) dopo l’istante x.
Posso avere vari andamenti del tasso di avaria.
- $h(X)$ può essere crescente: chiamerò il fenomeno usura;
- $h(X)$ può essere decrescente: chiamerò il fenomeno rodaggio (le prestazioni migliorano al passare del tempo);
- $h(X)$ può essere costante: chiamerò il fenomeno senza memoria.
Ad esempio, la distribuzione esponenziale ha un tasso di avaria costante: $h(X) = \frac{f(X)}{S(X)} = \frac{\lambda e^{-\lambda X}}{e^{-\lambda X}} = \lambda$
Quindi, se un numero aleatorio ha una distribuzione esponenziale, il suo tasso di avaria è costante. Cioè ho un’altra lettura del fenomeno senza memoria: tasso di avaria costante.
Anche qui vale il viceversa, cioè che, se ho un fenomeno con tasso di avaria costante, la distribuzione deve essere necessariamente esponenziale.
Infine, tra i possibili andamenti del tasso di usura ho anche opportune combinazioni dei 3 andamenti descritti. Ad esempio, le automobili: all’inizio $h(X)$ è decrescente (rodaggio), dopodiché con il passare degli anni $h(X)$ diventa crescente (usura).
Quindi, non è che ho solo fenomeni in cui $h(X)$ è sempre crescente, o sempre decrescente, o sempre costante. Ci sono anche situazioni in cui, con opportune combinazioni di questi 3 andamenti, posso descrivere fenomeni di tipo diverso e non soltanto monotoni (sempre crescenti, sempre decrescenti, sempre costanti).
E’ facile vedere che, una volta assegnata $h(X)$, è sempre univocamente determinata la densità $f(X)$:
$f(X) = h(X) exp \left ( – \int_{0}^{x} h(t) dt \right)$
Per ricavare questa relazione: $h(X) = \frac{f(X)}{S(X)} = \frac{F^{I}(X)}{1 – F(X)}$
Questa è un’equazione differenziale. Da questa equazione posso individuare la $F(X)$ in funzione di $h(X)$. E siccome $f(X)$ è la derivata prima di $F(X)$, posso anche individuare la $f(X)$ in funzione della $h(X)$.
Quindi, data $h(X)$, mediante questa relazione ritrovo la densità.
Perché questa relazione è importante?
Perché in un problema concreto è più facile assegnare il tasso di avaria che la densità.
Siccome $S(X) \rightarrow 0$ per $X \rightarrow \infty$ (questo è il duale per la funzione di ripartizione: $F(X) \rightarrow 1$ per $X \rightarrow \infty$), allora ho: $ \int_{0}^{+\infty} h(t) dt = + \infty$
$\Rightarrow$ l’integrale del tasso di avaria deve essere divergente. Perché?
Perché $f(X)$ deve tendere a 0 per $X \rightarrow +\infty$.
Dalla relazione $f(X) = h(X) exp \left ( – \int_{0}^{x} h(t) dt \right)$ si vede facilmente che l’integrale deve tendere a $+ \infty$, altrimenti l’esponenziale non tende a 0 e, quindi, $f(X)$ non tenderebbe a 0.
Quindi una condizione necessaria affinché una funzione $h(X)$ sia un tasso di avaria è: $ \int_{0}^{+\infty} h(t) dt = + \infty$
Se $h(X)$ è costante, è ovvio che questa condizione necessaria è verificata.
Ma se $h(X)$ è crescente o decrescente, occorre verificare questa condizione necessaria, altrimenti $h(X)$ non può essere considerata come tasso di avaria.
Anche qui, se si vuole, è un problema di coerenza. Siccome la funzione di sopravvivenza proviene dalla funzione di ripartizione e la funzione di ripartizione è una probabilità, anche la funzione di sopravvivenza deve soddisfare le regole della probabilità.
Adesso esamino i casi particolari.
Prendo $h(X) = \lambda = \ {costante}$
Vado a calcolarmi la densità corrispondente a questo tasso di avaria.
$f(X) = h(X) exp \left ( – \int_{0}^{x} h(t) dt \right) = \lambda exp \left ( – \int_{0}^{x} \lambda dt \right) = \lambda e^{-\lambda X}$
Se il tasso di avaria è costante, la distribuzione ottenuta è l’esponenziale.
Ancora una volta ritrovo la caratterizzazione della distribuzione esponenziale. Prima avevo visto che: $h(X) = \frac{f(X)}{S(X)}$. Quindi sostituendo densità e funzione di sopravvivenza per l’esponenziale ottenevo: $h(X) = \frac{\lambda e^{-\lambda X}}{e^{-\lambda X}} = \lambda$ cioè qual è il tasso di avaria per una distribuzione esponenziale.
Qui sto dimostrando il viceversa. Suppongo che il tasso di avaria sia costante: $h(X) = \lambda$. Allora vado a vedere come deve essere la densità attraverso la formula: $f(X) = h(X) exp \left ( – \int_{0}^{x} h(t) dt \right)$ e trovo che la densità deve essere esponenziale.
Quindi ho due caratterizzazioni della distribuzione esponenziale. Quella di fenomeno senza usura: $P(X > s + t | X > s) = P(X > t)$ e quella di tasso di avaria costante.
Adesso prendo un altro esempio.
Invento un possibile andamento per il tasso di avaria. Ovviamente, nell’inventare $h(X)$, devo sempre verificare la condizione necessaria affinché possa essere tasso di avaria, cioè che l’integrale di $h(X)$ deve essere divergente.
$h(X) = \alpha + \beta X$, con $\alpha$ e $\beta$ costanti assegnate.
Essendo $h(X)$ un rapporto tra due quantità positive, deve essere $h(X) \geq 0 \Rightarrow \ per \ ogni X, \alpha \geq 0 \ e \beta \geq 0$.
Se $\beta = 0$, ritrovo l’esponenziale, perché $h(X) = \alpha = \ costante$.
Se $\beta > 0 \Rightarrow$ usura crescente $\Rightarrow h(X) = \alpha + \beta X$ ha un integrale divergente.
Quindi, posso ricavarmi la densità, sostituendo in $h(X)$ la funzione scelta per il tasso di avaria: $f(X) = (\alpha + \beta X) e^{-\alpha X – \frac{\beta X^{2}}{2} }$
Se voglio descrivere un tasso di avaria lineare, questo deve necessariamente essere un tasso di avaria crescente, altrimenti non rispetterebbe le condizioni a cui deve sottostare $h(X)$: $h(X) \geq 0$ e integrale di $h(X)$ divergente.
Un tasso di avaria lineare decrescente (tipo rodaggio) non rispetterebbe le condizioni per $h(X)$ e, quindi, non può descrivere un tasso di avaria.
Ancora un altro esempio.
Prendo $h(X)$ come una potenza di X: $h(X) = c X^{\beta}$, con $c$ e $\beta$ opportune e $c \neq 0$. Verifichiamo le condizioni affinché una $h(X)$ così scelta possa essere un tasso di avaria: $h(X) \geq 0 \Rightarrow c > 0$
$ \int_{0}^{+\infty} h(t) dt = \int_{0}^{+\infty} c t^{\beta} dt = +\infty \Rightarrow \beta > -1$
Questo vuol dire che posso descrivere un tasso di avaria con una funzione di questo tipo (potenza di X) solo se $\beta > -1$
Sostituendo questa $h(X)$ e ponendo $\lambda = \frac{c}{\beta +1}$, ottengo: $f(X) = \lambda (\beta + 1) X^{\beta} e^{-\lambda X^{(\beta + 1)}}$
Questa si chiama distribuzione di Weibull: $\lambda > 0$ e $\beta > -1$.
Con questa distribuzione riesco a descrivere:
- sia il tasso di avaria crescente, se prendo $\beta > 0$
- sia il tasso di avaria decrescente, se prendo $- 1 < \beta < 0$.
- Quando $\beta = 0$, ritrovo l’esponenziale, come caso particolare della distribuzione di Weibull.
Quindi, con questa funzione posso descrivere anche il tasso di avaria costante.